La science du calcul et des nombres chez les Arabes
Les contributions des savants musulmans dans le domaine des mathématiques s’appuyèrent sur des théories claires et des méthodes rigoureuses. L’usage d’écrire les chiffres de droite à gauche, tel qu’il est encore pratiqué aujourd’hui dans le monde arabe, témoigne sans ambiguïté de l’origine arabe de ce système.
Parmi les apports majeurs et révolutionnaires des Arabes dans les mathématiques figure l’introduction du chiffre zéro, attribuée au mathématicien arabe Muḥammad ibn Aḥmad en l’an 967 de l’ère chrétienne. L’Occident ne connut le zéro qu’à partir du XIIIe siècle.
Certains historiens des sciences affirment que le zéro serait une invention indienne. Toutefois, une analyse rigoureuse et impartiale remet en question cette affirmation. Certes, les savants indiens avaient atteint un haut niveau dans les mathématiques après l’effondrement de l’Empire romain — empire qui, soit dit en passant, n’avait que peu ou pas contribué à ce domaine. Dès l’an 600, les Indiens introduisirent le système décimal, et on leur doit également l’usage des nombres négatifs. Ils firent aussi des tentatives pour résoudre des équations algébriques à plusieurs inconnues, chaque inconnue étant représentée par une couleur différente. Ces efforts, bien que limités, sont des contributions scientifiques qu’il ne faut pas nier, même s’ils ne suffisent pas à fonder une science complète.
Les mathématiciens musulmans utilisèrent et développèrent trois systèmes de numération différents, dans le but de parvenir à un système unifié, capable de répondre aux exigences des opérations mathématiques anciennes et nouvelles.
Le premier système s’appuyait sur la numération sexagésimale (base 60), héritée des civilisations anciennes. Les savants musulmans l’étudièrent et le perfectionnèrent, en l’associant de manière ingénieuse à l’alphabet arabe, ce qui permettait aux commerçants de faire des calculs aisément. Dans ce système, les chiffres étaient représentés par des lettres : le 1 par « أ », le 10 par « ي », le 100 par « ق », etc. Ainsi, le nombre 11 devenait « يا », et le 111 s’écrivait « قيا ». Ce système, connu sous le nom de ḥisāb al-jummal ou ḥisāb abjad, fut utilisé largement, notamment en astronomie. Par exemple, l’astrolabe était gradué selon cette méthode. Ce système est encore utilisé aujourd’hui dans certains pays arabes pour numéroter les paragraphes dans les documents officiels.
Le deuxième système était le calcul digital, ou ḥisāb al-yad (calcul sur les doigts). Ce système, mentionné dans les traités arabes sous le nom de « calcul de la main », ne faisait appel à aucun symbole chiffré. Les nombres y étaient énoncés en toutes lettres. Les opérations se faisaient mentalement, selon certaines règles exponents que nous reconnaissons aujourd’hui. L’exécutant devait se souvenir des étapes intermédiaires, en les représentant par des positions précises des doigts, appelées ʿuqūd (nœuds), suffisantes pour distinguer les nombres de 1 à 9999. Ainsi, le calculateur maîtrisait les unités, dizaines, centaines et milliers.
Une autre particularité de ce système était la manière de gérer les fractions, divisées en trois catégories :
- les fractions sexagésimales ;
- les fractions liées aux unités de mesure ou de monnaie (par ex. le dirham ou le qīrāṭ) ;
- les fractions arabes, exprimées de manière relative : un demi, un quart, trois cinquièmes, etc.
À partir de ces deux systèmes, les savants musulmans conçurent un troisième système de calcul plus sophistiqué, intégrant les avantages des précédents. Ce système, influencé par la numération indienne, fut développé et enrichi par les érudits arabes. L’un des pionniers de cette adaptation fut Aḥmad ibn Ibrāhīm al-Uqlīdisī, qui rédigea à Damas, entre 952 et 953, un traité expliquant le système indien. Il y apporta des améliorations substantielles, notamment pour l’adapter à l’usage de l’encre et du papier — alors que le système indien original utilisait des planchettes couvertes de poussière, d’où son nom chez les Arabes : ḥisāb al-ghubār (calcul de la poussière).
Le plus grand spécialiste de ce système fut Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, dont le traité sur le calcul, bien que perdu en arabe, a survécu à travers quatre traductions latines. Ce système permettait d’effectuer avec une grande précision les opérations fondamentales — addition, soustraction, multiplication, division — y compris sur de grands nombres, avec une efficacité remarquable. Il constitue la base du système que nous utilisons aujourd’hui.
Dans le monde musulman, deux ensembles de chiffres furent utilisés : l’un en Orient, l’autre en Occident. Les chiffres orientaux étaient les ancêtres des chiffres arabes dits « orientaux » utilisés encore en Égypte ou au Levant. Quant aux chiffres utilisés en Andalousie et au Maghreb, ils donnèrent naissance aux chiffres arabes occidentaux (0 à 9), qui furent transmis à l’Europe via l’Espagne musulmane, alors que l’Occident ignorait tout des mathématiques.
La théorie des nombres
Le ʿilm al-ʿadad (science des nombres) était une branche très appréciée. Il s’intéressait notamment aux carrés magiques et aux nombres amis. Les carrés magiques sont des tableaux dans lesquels la somme des nombres est constante, qu’on les lise en ligne, colonne ou diagonale. Leur étude conduisit à analyser des suites arithmétiques et géométriques.
Un autre domaine d’excellence fut l’analyse combinatoire, appelée aujourd’hui permutations et combinaisons. À ses débuts, cette discipline était perçue comme l’étude des formes dans un espace à deux ou trois dimensions, et elle trouva des applications dans des sciences comme la chimie et l’astronomie.
Jābir ibn Ḥayyān recourut à ces méthodes pour formuler sa théorie de la balance, fondée sur le principe : « la combinaison des nombres est à l’origine de toute chose. »
Les mathématiciens musulmans utilisèrent également les méthodes combinatoires pour résoudre des problèmes complexes. Ainsi, Ṯābit ibn Qurra, dans son ouvrage ash-Shakl al-Qaṭṭāʿ, s’en servit pour établir des relations trigonométriques sur la sphère, contribuant à la résolution des triangles sphériques. De même, al-Bīrūnī, dans Maqālīd ʿilm al-hayʾa (Les clefs de l’astronomie), fit appel à ces résultats pour déterminer les éléments inconnus des triangles sphériques.
Dans le domaine de l’algèbre, Abū Kāmil (mort en 930) inclut des solutions combinatoires à certaines équations dans son ouvrage al-Ṭarāʾif fī al-ḥisāb. D’autres exemples abondent, illustrant l’ingéniosité des savants arabes dans l’application et le développement de cette science.
Un système raffiné, unifié et en perpétuel progrès
Les mathématiciens musulmans ont accompli une œuvre remarquable en unifiant diverses notions de calcul, en maîtrisant les opérations de base sur les entiers et les fractions, en maniant à la fois les systèmes décimal et sexagésimal, en extraitant des racines carrées et en manipulant les nombres irrationnels.
Ces réalisations forment un système mathématique riche et cohérent, perfectionné au fil des générations. Parmi les grands noms, ʿUmar al-Khayyām (mort en 1133) excella dans la description de ces opérations fondamentales, notamment l’extraction des racines cubiques, quatrièmes, et même supérieures, et dans le traitement du binôme de Newton, bien avant l’Occident. Son œuvre illustre la brillance du mathématicien arabe, qui domina incontestablement la scène scientifique jusqu’au XVe siècle.